Question

（1）设数列{a_n}是公比为q的等比数列，S_n是它的前n项和，证明：数列{S_n}不是等比数列．
（2）已知f（x）=a^x+（a＞1），证明：方程f（x）=0没有负根．

Answer

（1）假设数列{Sn}是等比数列，则S22=S1S3，利用等比数列的求和公式可求q，结合等比数列的公比性质可判断，推出矛盾；
（2）假设f（x）=0 有负根 x，即 f（x）=0得到=，再由a＞1和x＜0，结合指数函数的单调性判断出，列出不等式组，由二次不等式和分式不等式的解法求x的范围，与x＜0矛盾．
证明：（1）假设数列{Sn}是等比数列，则S22=S1S3，
即a12（1+q）2=a1•a1（1+q+q2），
∵a1≠0，∴（1+q）2=1+q+q2，即q=0，这与公比q≠0矛盾，
∴数列{Sn}不是等比数列．
（2）假设f（x）=0 有负根 x，且 x≠-1，
即 f（x）=0，则=，
∵a＞1，x＜0，∴0＜＜1，
∴0＜＜1，即，
∴，解得x＜2，
这与x＜0矛盾，假设不成立，
故方程f（x）=0没有负根．