Question

试证明：在平面上所有过点（，0）的直线中，至少通过两个有理点（有理点指横、纵坐标均为有理数的点）的直线有且只有一条．

Answer

①先证明直线的存在性：由于直线y=0经过点（，0），且至少经过两个有理点（0，0）、（1，0），可得一定存在满足条件的直线．
②再证明唯一性：假设除了直线y=0外，经过点（，0），还有一条直线y=k（x-） 经过2个不同的有理点A（x1，y1）、B（x2，y2），求得k= 为有理数．而由 可得k= 是无理数，矛盾，故假设不正确．综合①②，命题得证．
【解析】
①先证明直线的存在性：
由于直线y=0经过点（，0），且至少经过两个有理点（0，0）、（1，0），故一定存在过点（，0），且至少经过两个有理点的直线．
②再证明唯一性：假设除了直线y=0外，经过点（，0），还有一条直线y=k（x-） 经过2个不同的有理点A（x1，y1）、B（x2，y2），
其中，x1，y1，x2，y2都是有理数，且x1≠x2，y1≠y2．
则有 ，且，∴y1-y2=k（x1-x2），∴k= 为有理数．
而由 可得k= 是无理数，矛盾，故假设不正确．
综上，在平面上所有过点（，0）的直线中，至少通过两个有理点（有理点指横、纵坐标均为有理数的点）的直线有且只有一条．