Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*），数列{b_n}满足b₁=1，且点P（b_n，b_n+1）（n∈N^*）在直线y=x+2上．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和D_n；
（Ⅲ）设c_n=a_n•sin²，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

Answer

（Ⅰ）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可求求数列{an}的通项公式；利用点在直线y=x+2上，可得{bn}是等差数列，公差为2，首项b1=1，从而可求{bn}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法，可求数列{an•bn}的前n项和Dn；
（Ⅲ）利用分组求和法，可求数列{cn}的前2n项和T2n．
【解析】
（Ⅰ）当n=1，a1=2…（1分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-2an-1…（2分）
∴an=2an-1（n≥2），∴{an}是等比数列，公比为2，首项a1=2
∴…（3分）
又点在直线y=x+2上，∴bn+1=bn+2，
∴{bn}是等差数列，公差为2，首项b1=1，∴bn=2n-1…（5分）
（Ⅱ）∵
∴①
②
①-②得…（7分）
=…（8分）
…（9分）
（Ⅲ）…（11分）
T2n=（a1+a3+…+a2n-1）-（b2+b4+…b2n）
=…（13分）