Question

设函数f（x）=，g（x）=x³-x²-3．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（Ⅲ）如果对任意的s，t，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可确定函数的单调区间；
（Ⅱ）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立，等价于：[g（x1）-g（x2）]max≥M，求出函数的最值，即可求满足条件的最大整数M；
（Ⅲ）当x时，恒成立，等价于a≥x-x2lnx恒成立，求右边的最值，即可得到结论．
【解析】
（Ⅰ），，…（1分）
①a≤0，h'（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增…（2分）
②a＞0，，函数h（x）的单调递增区间为，，函数h（x）的单调递减区间为…（4分）
（Ⅱ）存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立，等价于：[g（x1）-g（x2）]max≥M，…（5分）
考察g（x）=x3-x2-3，，…（6分）

x 2
g′（x） - +
g（x） -3 递减 极（最）小值 递增 1

…（8分）
由上表可知：，
∴[g（x1）-g（x2）]max=g（x）max-g（x）min=，…（9分）
所以满足条件的最大整数M=4；…（10分）
（Ⅲ）当x时，恒成立，等价于a≥x-x2lnx恒成立，…（11分）
记h（x）=x-x2lnx，所以a≥hmax（x）
又h′（x）=1-2xlnx-x，则h′（1）=0．
记h'（x）=（1-x）-2lnx，，1-x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0
即函数h（x）=x-x2lnx在区间上递增，
记h'（x）=（1-x）-2lnx，x∈（1，2]，1-x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0
即函数h（x）=x-x2lnx在区间（1，2]上递减，
∴x=1，h（x）取到极大值也是最大值h（1）=1…（13分）
∴a≥1…（14分）