Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC=3，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．
（1）求证：DC∥平面PAB；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer

（Ⅰ）由题意可得，AB∥CD，CD⊄平面PAB，而AB⊂平面PAB，根据直线和平面平行的判定定理可得 CD∥平面PAB．
（Ⅱ）先证明所以PO⊥平面ABCD，可得PO是棱锥的高，求得PO以及直角梯形ABCD的面积，再根据四棱锥P-ABCD的体积为 •SABCD•PO，运算求得结果．
（Ⅰ）证明：由题意可得，AB∥CD，CD⊄平面PAB，而AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB．…（4分）
（Ⅱ）证明：因为PB=PC，O是BC的中点，所以PO⊥BC．
又侧面PBC⊥底面ABCD，PO⊂平面PBC，面PBC∩底面ABCD=BC，
所以PO⊥平面ABCD．…（8分）
所以PO是棱锥的高，又AB=BC=2CD=2，PB=PC=3，PO===，
四棱锥P-ABCD的体积为 •SABCD•PO=（）PO=×2=．