Question

设函数f（x）=xlnx（x＞0）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）设F（x）=ax²+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性．

Answer

（1）求导函数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的最小值；
（2）分类讨论，利用导数的正负，即可得到函数F（x）的单调性．
【解析】
（1）求导函数，可得f′（x）=lnx+1（x＞0），令f′（x）=0，得x=．
∵当x时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0，
∴当x=时，．…（6分）
（2）F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），（x＞0）．
①当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＜0时，令F′（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得；
令F′（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得．
综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，F（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．…（12分）