Question

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，过顶点A（0，1）的直线L与椭圆C相交于两点A，B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点M在椭圆上且满足，求直线L的斜率k的值．

Answer

（1）利用离心率计算公式e=，b=1，及a2=1+c2，即可解得a．
（2）设l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，n）．与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用已知，即可表示出点M的坐标，代入椭圆方程即可得出k．
【解析】
（1）由e=，b=1，a2=1+c2，解得a=2，
故椭圆方程为．
（2）设l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，n）．
联立 ，消去y解得 （1+4k2）x2+8kx=0，
因为直线l与椭圆C相交于两点，所以△=（8k）2＞0，
所以x1+x2=，x1×x2=0，
∵，∴
点M在椭圆上，则m2+4n2=4，
∴，化简得
x1x2+4y1y2=x1x2+4（kx1+1）（kx2+1）=（1+4k2）x1x2+4k（x1+x2）+4=0，
∴4k•（）+4=0，解得k=±．
故直线l的斜率k=±．