Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．OE交AD于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，求的值．

Answer

（1）连接OD，得∠ODA=∠OAD=∠DAC，所以OD∥AE．由此能够证明DE是的⊙O切线．
（2）过D作DH⊥AB于H  则有∠DOH=∠CAB，cos∠DOH=cos∠CAB=，设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，DH=4x，AH=8x，AD2=80x2，由△AED∽△ADB，能够求出的值．
【解析】
（1）证明：连接OD，
得∠ODA=∠OAD=∠DAC，…（2分）
∴OD∥AE，
又AE⊥DE，…（3分）
∴DE⊥OD，又OD为半径
∴DE是的⊙O切线 …（5分）
（2）过D作DH⊥AB于H，
则有∠DOH=∠CAB
cos∠DOH=cos∠CAB=，…（6分）
设OD=5x，
则AB=10x，OH=3x，DH=4x，
∴AH=8x，
AD2=80x2，
由△AED∽△ADB，
得AD2=AE•AB=AE•10x，
∴AE=8x，…（8分）
又由△AEF∽△DOF，
得AF：DF=AE：OD=，
∴．…（10分）