Question

（某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元，分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元，用η表示经销一辆汽车的利润．

付款方式	分1期	分2期	分3期	分4期	分5期
频数	40	20	a	10	b

（Ⅰ）求上表中的a，b值；
（Ⅱ）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的频率P（A）；
（Ⅲ）求η的分布列及数学期望Eη．

Answer

（I）根据分3期付款的频率为0.2，以及频数=样本容量×频率，可求出a的值，再根据总数为100可求出b的值；
（II）购买该品牌汽车的3为顾客中至多有1位采用3期付款有两种情形，一种情况是没有人采用3期付款，一种情况是只有1人采用3期付款，分别求出相应的概率，求和即可；
（III）根据η的可能取值为1，1.5，2，然后分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．
【解析】
（Ⅰ）由，可得a=20，∴b=100-40-20-20-10=10
（Ⅱ）记分期付款的期数为ξ，依题意得
P（ξ=1）=0.4，P（ξ=2）=0.2，P（ξ=3）=0.2，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.1
∴“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率为P（A）==0.896；
（Ⅲ）η的可能取值为为1，1.5，2（单位：万元）
P（η=1）=P（ξ=1）=0.4，P（η=1.5）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.4
P（η=2）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.2
∴η的分布列为

η 1 1.5 2
P 0.4 0.4 0.2

∴Eη=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.2（万元）