Question

选修4-4；坐标系与参数方程
已知直线C₁：（t为参数），C₂：ρ=1．
（Ⅰ）当α=时，求C₁与C₂的交点坐标；
（Ⅱ）以坐标原点O为圆心的圆与C₁的相切，切点为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

Answer

（I）当α=时，分别求得C1和C2 的普通方程，再联立方程组解得C1与C2的交点的坐标．
（II）求得C1 的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0，A点坐标为（sin2α，-cosαsinα），由题意求得当α变化时，P点轨迹的参数方程为
（α为参数），消去参数，可得P点轨迹的普通方程．
【解析】
（I）当α=时，C1的普通方程为y=（x-1），C2 的普通方程为x2+y2=1，
联立方程组可得解得C1与C2的交点为（1，0）、（，-）．…（5分）
（II）求得C1 的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0，A点坐标为（sin2α，-cosαsinα）．∴当α变化时，P点轨迹的参数方程为
（α为参数），∴P点轨迹的普通方程为 +y2=，
故P点轨迹是圆心为（，0），半径为的圆．…（10分）