Question

定义域为R的奇函数f（x ）的图象关于直线．x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=x，方程 f（x）=log₂₀₁₃x实数根的个数为
（ ）
A．1006
B．1007
C．2012
D．2014

Answer

可根据定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称⇒f（x+4）=f（x），再利用0≤x≤1时，f（x）=x，数形结合，可求得方程f（x）=log2013x的所有实根的个数．
【解析】
∵函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（2-x）=f（x），又y=f（x）为奇函数，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期为4，
又定义在R上的奇函数，故f（0）=0，
f（x）=log2013x实数根的个数，即y=f（x）和y=log2013x的交点个数，
同一坐标系里作出y=f（x）和y=log2013x的图象，
∵当0＜x≤4时，图象有1个交点，当4＜x≤8时，图象有2个交点，…；
根据周期性，y=f（x）和y=log2013x的图象有1+502×2+1=1006个交点．
故选A．