Question

已知抛物线C：y²=2px的焦点为F，抛物线C与直线l₁：y=-x的一个交点的横坐标为8．
（I）求抛物线C方程；
（II）不过原点的直线l₂与l₁垂直，且与抛物线交于不同的两点A、B，若线段AB的中点 为P，且|OP|=|PB|，求△FAB的面积．

Answer

（I）确定抛物线C与直线l1：y=-x的一个交点的坐标，代入抛物线方程，即可求抛物线C方程；
（II）设l2的方程为x=y+m，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合OA⊥OB，求出m的值，从而可求△FAB的面积．
【解析】
（I）由题意，抛物线C与直线l1：y=-x的一个交点的坐标为（8，-8），
代入抛物线方程可得64=2p×8，∴2p=8，
∴抛物线C方程为y2=8x；
（II）∵不过原点的直线l2与l1垂直，∴可设l2的方程为x=y+m，
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l2与x轴交点为M
直线方程代入抛物线方程，可得y2-8y-8m=0
△=64+32m＞0，∴m＞-2
由韦达定理得y1+y2=-8，y1y2=-8m，∴x1x2=m2，
由题意，OA⊥OB，即x1x2+y1y2=m2-8m=0
∴m=8或m=0（舍去）
∴l2的方程为x=y+8，M（8，0）
∴S△FAB==3=24．