Question

如图，在几何体ABCDE中，AB=AD=2，AB丄AD，AD丄平面ABD．M为线段BD的中点，MC∥AE，AE=MC=
（I）求证：平面BCE丄平面CDE；
（II）若N为线段DE的中点，求证：平面AMN∥平面BEC．

Answer

（I）利用面面垂直的判定定理在平面BCE内找一条直线与平面CDE垂直即可证明；
（II）通过BD中点M，ED的中点N，利用三角形的中位线定理及面面平行的判定定理即可证明．
【解析】
（I）∵AB=AD=2，AB丄AD，M为线段BD的中点，
∴AM=BD，AM⊥BD．
∵AE=MC=，∴AE=MC=BD=，∴BC⊥CD，
∵AE丄平面ABD，MC∥AE，
∴MC⊥平面ABD，∴平面CBD⊥平面ABD，∴AM⊥平面CDB．
又MC∥AE，AE=MC=，∴四边形AMCE是平行四边形，
∴EC∥AM，∴EC⊥平面CDB．∴BC⊥EC，∵EC∩CD=C
又∵BC⊥平面CDE，
∴平面BCE⊥平面CDE．
（II）∵BD中点M，ED的中点N，∴MN∥BE，
又∵MN⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，
∴MN∥平面BEC
由（I）知EC∥AM，又∵AM⊄平面BCE，EC⊂平面BCE，
∴AM∥平面BEC，且AM∩MN=M．
∴平面AMN∥平面BEC．