Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的动点．
（1）当E恰为棱CC₁的中点时，试证明：平面A₁BD⊥平面EBD；
（2）在棱CC₁上是否存在一个点E，可以使二面角A₁-BD-E的大小为45°？如果存在，试确定点E在棱CC₁上的位置；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接A1O，OE，在等边△A1BD中，BD⊥A1O，由BD⊥A1E，A1O⊂平面A1OE，A1O∩A1E=A1，知∠A1OE是二面角A1-BD-E的平面角，由此能够证明平面A1BD⊥平面EBD．
（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，假设棱CC1上存在点E，可以使二面角A1-BD-E的大小为45°，由∠A1OE=45°设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2a，EC=x，由平面几何知识，得EO=，，，由此能推导出棱OC1上不存在满足条件的点．
（1）证明：连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接A1O，OE，
在等边△A1BD中，BD⊥A1O，
∵BD⊥A1E，A1O⊂平面A1OE，A1O∩A1E=A1，
∴BD⊥平面A1OE，
于是BD⊥OE，
∴∠A1OE是二面角A1-BD-E的平面角，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设棱长为2a，
∵E是棱CC1的中点，
∴由平面几何知识，得，，A1E=3a，
满足，
∴∠A1OE=90°，即平面A1BD⊥平面EBD．
（2）【解析】
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
假设棱CC1上存在点E，可以使二面角A1-BD-E的大小为45°，
由（1）知，∠A1OE=45°，
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2a，EC=x，
由平面几何知识，得EO=，，，
∴在△A1OE中，由，
得x2-8ax-2a2=0，
解得，
∵，
∴棱OC1上不存在满足条件的点．