Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）
（Ⅰ）求证：对任意的λ∈（0，2），都有AC⊥BE
（Ⅱ）设二面角C-AE-D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθ•tanφ=1，求λ的值．

Answer

解法一：（几何法）（Ⅰ）因为SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理只要证AC⊥BD即可．
（Ⅱ）先找出θ和φ，因为由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，二面角C-AE-D的平面角可由三垂线定理法作出．
再用λ表示出tanθ和tanφ，代入tanθ•tanφ=1，解方程即可．
解法二：（向量法）因为DA．DC．DS两两垂直，故可建立空间直角坐标系，由向量法求解．
（Ⅰ）写出向量和的坐标，只要数量积为0即可．
（Ⅱ）分别求出平面ACE的法向量、平面ABCD与平面ADE的一个法向量，由夹角公式求出cosθ和sinφ，再由tanθ•tanφ=1求解即可．
【解析】
（Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD．
∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE
（Ⅱ）解法1：如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，
∵SD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴SD⊥CD．
又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD．
连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，
故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CFD=θ．
在Rt△BDE中，∵BD=2a，DE=λa∴tanφ=
在Rt△ADE中，∵，DE=λa∴AE=a
从而DF=
在Rt△CDF中，tanθ=．
由tanθ•tanφ=1，得即=2，所以λ2=2．
由0＜λ≤2，解得，即为所求．

（Ⅰ）证法2：以D为原点，以DA．DC．DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如
图2所示的空间直角坐标系，则
D（0，0，0），A（，0，0），B（a，a，0），
C（0，a，0），E（0，0，λa），
∴，
∴，即AC⊥BE．
（Ⅱ）解法2：
由（I）得，，．
设平面ACE的法向量为n=（x，y，z），则由，
得即取，得．
易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为
与．
∴，．
∵0＜θ＜，λ＞0
∴tanθ•tanφ=1⇔θ+φ=⇔sinφ=cosθ⇔⇔λ2=2．
由0＜λ≤2，解得，即为所求．