Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB，D是AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求证：平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁；
（3）求二面角A-A₁B-D的余弦值．

Answer

（1）利用线面平行的判定定理，证明线面平行，利用三角形中位线的性质，证明线线平行即可；
（2）证明面面垂直，只需证明线面垂直，利用线面垂直的判定证明线面垂直；
（3）法一：作出二面角A-A1B-D的平面角，利用余弦定理即可求解；
法二：建立空间直角坐标系，求出平面A1BD的法向量、平面AA1B的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．
（1）证明：连AB1交A1B于点E，连DE，则E是AB1的中点，
∵D是AC的中点，∴DE∥B1C
∵DE⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD；
（2）证明：∵ABC-A1B1C1是正三棱柱
∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BD，
∵AB=BC，D是AC的中点，∴AC⊥BD
∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，
∵BD⊂平面A1BD，∴平面A1BD⊥平面ACC1A1；

（3）法一：设AA1=2a，∵AA1=AB，∴AE⊥BA1，且，
作AF⊥A1D，连EF
∵平面A1BD⊥平面ACC1A1，∴AF⊥平面A1BD，∴EF⊥BA1
∴∠AEF就是二面角A-A1B-D的平面角，
在△A1AD中，，
在△AEF中，
∴，即二面角A-A1B-D的余弦值是．…（12分）
解法二：如图，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），，A（-a，0，0），A1（-a，0，2a）

∴，，，
设平面A1BD的法向量是，则
由，取
设平面AA1B的法向量是，则
由，取
记二面角A-A1B-D的大小是θ，则，
即二面角A-A1B-D的余弦值是．…（12分）