Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为D₁C₁，B₁C₁的中点，AC∩BD=P，A₁C₁∩EF=Q，如图所示．
（1）点D，B，F，E共面吗？
（2）作出直线A₁C与平面BDEF的交点R的位置；
（3）点P，Q，R共线吗？

Answer

（1）点D，B，F，E共面共面．设交点为O，则OC1=C1C，同理，直线DE与CC1也相交，设交点为O1，证明O1与O重合，得DE与BF交于O，故D，B，F，E共面．
（2）在正方体AC1中，连接PQ，说明Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点，P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点；说明R∈平面BDEF，判定R是A1C与PQ的交点．
（3）点P，Q，R共线．由（2）知，PQ=平面BDEG∩平面A1ACC1，再利用平面的基本性质中的公理2即可证得结论．
【解析】
（1）共面，证明：由于CC1和BF在同一平面内，且不平行，故必相交，设交点为O，则OC1=C1C，同理，直线DE与CC1也相交，设交点为O1，则O1C1=C1C，故O1与O重合，得DE与BF交于O，故D，B，F，E共面．
（2）在正方体AC1中，连接PQ，
∵Q∈A1C1，∴Q∈平面A1C1CA．又Q∈EF，
∴Q∈平面BDEF，即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点，
同理，P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点．
∴平面A1C1CA∩平面BDEF=PQ．
又A1C∩平面BDEF=R，
∴R∈A1C，
∴R∈平面A1C1CA，
R∈平面BDEF．
∴R是A1C与PQ的交点．如图．
（3）共线，证明：由（2）知，PQ=平面BDEG∩平面A1ACC1，R∈A1C，
而A1C⊂平面A1ACC1，故R∈平面A1ACC1，
同理，R∈平面BDEF，
故R∈PQ，即P，Q，R三点共线．