Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过A（2，0）和B（1，）两点，O为坐标原点．
（I ）求椭圆C的方程；
（II）若以点O为端点的两条射线与椭圆c分别相交于点M，N且丄，证明：点O到直线MN的距离为定值．

Answer

（I）利用椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过A（2，0）和B（1，）两点，建立方程组，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
（II）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用向量知识及韦达定理，即可求得结论．
（I）【解析】
∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过A（2，0）和B（1，）两点，
∴，
∴
∴椭圆C的方程为；
（II）证明：①当直线MN的斜率不存在时，其方程为x=±，则点O到直线MN的距离为；
②当直线MN的斜率存在时，其方程为y=kx+m，设M，N两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
将y=kx+m代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，则x1+x2=-，x1x2=
令△＞0，解得m2＜4k2+3，
∵丄，∴x1x2+y1y2=0，
∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，
∴（1+k2）•-km•+m2=0，
∴＜4k2+3
∴点O到直线MN的距离为=，
由①②可得点O到直线MN的距离为定值．