Question

已知函数f（x）=xlnx．
（I ）设g（x）=f（x）-ax，若不等式g（x）≥-1对一切x∈e （0，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围；
（II）设0＜x₁＜x₂，若实数x满足，f（x）=，证明：x₁＜x＜x₂．

Answer

（I ）不等式g（x）≥-1对一切x∈（0，+∞）恒成立，等价于对一切x∈（0，+∞），g（x）max≥-1成立，求导数，确定函数的最大值，即可求实数a 的取值范围；
（II）求导数，利用导数的意义，借助于函数的单调性，即可证得结论．
（I ）【解析】
不等式g（x）≥-1对一切x∈（0，+∞）恒成立，等价于对一切x∈（0，+∞），g（x）max≥-1成立
设g（x）=f（x）-ax，x＞0，则g′（x）=lnx+1-a
令g′（x）＞0，则x＞ea-1，令g′（x）＜0，则0＜x＜ea-1，
∴g（x）max=g（ea-1）=-ea-1≥-1，∴a≤1；
（II）证明：由题意f′（x）=lnx+1，则f′（x）=lnx+1，∴
①==
令=t，则，t＞1
令u（t）=lnt-t+1，则＜0，∴u（t）在（1，+∞）上单调递减
∴u（t）＜u（1）=0，∴lnx＜lnx2，∴x＜x2；
②=
令=t，则，t＞1
令v（t）=tlnt-t+1，则v′（t）=lnt＞0，∴v（t）在（1，+∞）上单调递增
∴v（t）＞v（1）=0，∴lnx＞lnx1，∴x＞x1
由①②可得x1＜x＜x2．