Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，P是椭圆上一点，l为左准线，PQ⊥l，垂足为Q，若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是    ．

Answer

设P（x，y），根据PQ⊥l且四边形PQFA为平行四边形，得|PQ|=x+=a+c，可得x=a+c-．利用点P的横坐标满足x∈（-a，a），建立关于a、c的不等式组，再化成关于离心率的一元二次不等式，解之即可得到椭圆的离心率e的取值范围．
【解析】
设P（x，y），则
∵PQ⊥l，四边形PQFA为平行四边形，
∴|PQ|=x+=a+c，可得x=a+c-
∵椭圆上点P的横坐标满足x∈[-a，a]，且P、Q、F、A不在一条直线上
∴-a＜a+c-＜a，即2a+c-＞0且c-＜0
化简得2+e-＞0，即e2+2e-1＞0
解之得e或e＞
∵椭圆的离心率e∈（0，1）
∴椭圆的离心率e的取值范围是（，1）
故答案为：（，1）