Question

已知函数f（x）=x++a²，g（x）=x³-a³+2a+1，若存在ξ₁、ξ₂∈[]（a＞1），使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|≤9，则a的取值范围是    ．

Answer

存在ξ1、ξ2∈[]（a＞1），使得|f（ξ1）-g（ξ2）|≤9，等价于存在x∈[]（a＞1），使得|f（x）min-g（x）max|≤9，求出相应函数的最值，得到不等式，即可求出a的取值范围
【解析】
存在ξ1、ξ2∈[]（a＞1），使得|f（ξ1）-g（ξ2）|≤9，等价于存在x∈[]（a＞1），使得|f（x）min-g（x）max|≤9
∵函数f（x）=x++a2，ξ1∈[]（a＞1），∴f（x）=x++a2≥2+a2，即f（x）min=2+a2；
∵g（x）=x3-a3+2a+1，∴g′（x）=3x2，∴函数g（x）在[]（a＞1）上单调递增，
∴g（x）max=g（a）=2a+1
∴|2+a2-2a-1|≤9
∴-3≤a-1≤3
∴-2≤a≤4
∵a＞1，∴1＜a≤4．
故答案为：（1，4]．