Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C₁和圆弧C₂相接而成．两相接点M，N均在直线x=5上，圆弧C₁的圆心是坐标原点O，半径为r₁=13； 圆弧C₂过点A（29，0）．
（1）求圆弧C₂所在圆的方程；
（2）曲线C上是否存在点P，满足PA=PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；
（3）已知直线l：x-my-14=0与曲线C交于E、F两点，当EF=33时，求坐标原点O到直线l的距离．

Answer

（1）根据圆弧 C1所在圆的方程为 x2+y2=169，可得M，N的坐标，从而可得直线AM的方程为 y-6=2（x-17），进而可求圆弧 C2所在圆的圆心为 （14，0），圆弧C2 所在圆的半径为=29-14=15，故可求圆弧C2 的方程；
（2）假设存在这样的点P（x，y），则由PA=PO，得x2+y2+2x-29=0，分别与圆弧方程联立，即可知这样的点P不存在．
（3）因为 EF＞r2，EF＞r1，所以 E，F两点分别在两个圆弧上，根据直线l恒过圆弧 C2的圆心（14，0），可得 ，从而得解．
【解析】
（1）圆弧 C1所在圆的方程为 x2+y2=169，令x=5，解得M（5，12），N（5，-12）…2分
则直线AM的中垂线方程为 y-6=2（x-17），令y=0，得圆弧 C2所在圆的圆心为 （14，0），
又圆弧C2 所在圆的半径为=29-14=15，所以圆弧C2 的方程为（x-14）2+y2=225（x≥5）…5分
（2）假设存在这样的点P（x，y），则由PA=PO，得x2+y2+2x-29=0 …8分
由，解得x=-70 （舍去） 9分
由，解得 x=0（舍去），
综上知，这样的点P不存在…10分
（3）因为 EF＞r2，EF＞r1，所以 E，F两点分别在两个圆弧上，
又直线l恒过圆弧C2的圆心（14，0），所以 …13分
解得，即  …16分