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已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数,其值域为[-]. (1)试求a、b的值;...

已知函数f(x)=manfen5.com 满分网是定义在R上的奇函数,其值域为[-manfen5.com 满分网].
(1)试求a、b的值;
(2)函数y=g(x)(x∈R)满足:①当x∈[0,3)时,g(x)=f(x);②g(x+3)=g(x)lnm(m≠1).
①求函数g(x)在x∈[3,9)上的解析式;
②若函数g(x)在x∈[0,+∞)上的值域是闭区间,试探求m的取值范围,并说明理由.
(1)由于 函数f(x)=是定义在实数集R上的奇函数,则f(-x)=-f(x),构造方程,可求a与b值; (2)由题意以及①当x∈[0,3)时,g(x)=f(x);②g(x+3)=g(x)lnm(m≠1).得到; 对参数lnm分类讨论,再依据函数g(x)在x∈[0,+∞)上的值域是闭区间,即可得到m的取值范围. 【解析】 (1)由函数f(x)定义域为R,∴b>0. 又f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)对x∈R恒成立,得a=0.(2分) 因为y=f(x)=的定义域为R,所以方程yx2-x+by=0在R上有解. 当y≠0时,由△≥0,得-≤y≤, 而f(x)的值域为,所以=,解得b=4; 当y=0时,得x=0,可知b=4符合题意.所以b=4.(5分) (2)①因为当x∈[0,3)时,g(x)=f(x)=, 所以当x∈[3,6)时,g(x)=g(x-3)lnm=;(6分) 当x∈[6,9)时,g(x)=g(x-6)(lnm)2=, 故(9分) ②因为当x∈[0,3)时,g(x)=在x=2处取得最大值为,在x=0处取得最小值为0,(10分) 所以当3n≤x<3n+3(n≥0,n∈Z)时,g(x)=分别在x=3n+2和x=3n处取得最值为与0.(11分) (ⅰ) 当|lnm|>1时,g(6n+2)=的值趋向无穷大,从而g(x)的值域不为闭区间;(12分) (ⅱ) 当lnm=1时,由g(x+3)=g(x)得g(x)是以3为周期的函数,从而g(x)的值域为闭区间;(13分) (ⅲ) 当lnm=-1时,由g(x+3)=-g(x)得g(x+6)=g(x),得g(x)是以6为周期的函数, 且当x∈[3,6)时g(x)=值域为,从而g(x)的值域为闭区间;(14分) (ⅳ) 当0<lnm<1时,由g(3n+2)=<,得g(x)的值域为闭区间;(15分) (ⅴ) 当-1<lnm<0时,由≤g(3n+2)=<,从而g(x)的值域为闭区间. 综上知,当m∈∪(1,e],即0<lnm≤1或-1≤lnm<0时,g(x)的值域为闭区间.(16分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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