Question

已知数列{a_n}单调递增，且各项非负，对于正整数K，若任意的i，j（1≤i≤j≤K），a_j-a_i仍是{a_n}中的项，则称数列{a_n}为“K项可减数列”．
（1）已知数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，且数列{a_n-2}是“K项可减数列”，试确定K的最大值；
（2）求证：若数列{a_n}是“K项可减数列”，则其前n项的和；
（3）已知{a_n}是各项非负的递增数列，写出（2）的逆命题，判断该逆命题的真假，并说明理由．

Answer

要紧扣新概念，借助于等比数列的性质以及数列前N项和的性质．
（1）由于，则，紧扣K项可减数列的概念，求出k值；
（2）要紧扣新概念，因为数列{an}是“K项可减数列”，所以ak-at（t=1，2…，K）必定是数列{an}中的项；
（3）考查命题的真假，要有数列前N项和公式求通项公式，由即可求出．
【解析】
（1）设，则c1=0，c2=2，c3=6，
易得c1-c1=c1，c2-c1=c2，c2-c2=c1，即数列{cn}一定是“2项可减数列”，
但因为c3-c2≠c1，c3-c2≠c2，c3-c2≠c3，所以K的最大值为2． …（5分）
（2）因为数列{an}是“K项可减数列”，
所以ak-at（t=1，2…，K）必定是数列{an}中的项，…（7分）
而{an}是递增数列，故ak-ak＜ak-ak-1＜ak-ak-2＜…＜ak-a1，
所以必有ak-ak=a1，ak-ak-1=a2，ak-ak-2=a3，…，ak-a1=ak，
则a1+a2+a3+…+ak=（ak-ak）+（ak-ak-1）+（ak-ak-2）+…+（ak-a1）=Kak-（a1+a2+a3+…+ak），
所以SK=KaK-SK，即．
又由定义知，数列{an}也是“t项可减数列”（t=1，2，…，K-1），
所以．                         …（10分）
（3）（2）的逆命题为：
已知数列{an}为各项非负的递增数列，若其前n项的和满足，
则该数列一定是“K项可减数列”，该逆命题为真命题．   …（12分）
理由如下：因为≤n≤K），所以当n≥2时，，
两式相减，得，即（n-2）an=（n-1）an-1（n≥2）（*）
则当n≥3时，有（n-3）an-1=（n-2）an-2（**）
由（**）-（*），得an+an-2=2an-1（n≥3），
又，所以a1=0，故数列a1，a2，…，aK是首项为0的递增等差数列．
设公差为d（d＞0），则an=（n-1）d，（n=1，2，…，K），
对于任意的i，j（1≤i≤j≤K），aj-ai=（j-i）d=aj-i+1，
因为1≤1≤j-i+1≤K，所以aj-ai仍是a1，a2，…，aK中的项，
故数列{an}是“K项可减数列”．                      …（16分）