Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=-a_n²+pa_n（p∈R），且a₁∈（0，2）．试猜想p的最小值，使得a_n∈（0，2）对n∈N^*恒成立，并给出证明．

Answer

利用a1∈（0，2），所以欲a2∈（0，2）恒成立，即可p的最小值为2，进而利用数学归纳法的证题步骤，即可得证．
【解析】
当n=1时，a2=-a12+pa1=a1（-a1+p），因为a1∈（0，2），所以欲a2∈（0，2）恒成立，
则要恒成立，解得2≤p＜2，由此猜想p的最小值为2．（4分）
因为p≥2，所以要证该猜想成立，只要证：当p=2时，an∈（0，2）对n∈N*恒成立．（5分）
现用数学归纳法证明之：
①当n=1时结论显然成立．（6分）
②假设当n=k时结论成立，即ak∈（0，2），
则当n=k+1时，ak+1=-ak2+2ak=ak（2-ak），
一方面，ak+1=ak（2-ak）＞0成立，（8分）
另一方面，ak+1=ak（2-ak）=-（ak-1）2+1≤1＜2，所以ak+1∈（0，2），
即当n=k+1时结论也成立．（9分）
由①、②可知，猜想成立，即p的最小值为2．（10分）