Question

为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获得，国家将给予补偿．
（I）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（II）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

Answer

（I）当x∈[200，300]时，该项目获利S=200x-＜0，说明不获利；当x=300时，S取得最大值-5000，说明国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损；
（II）二氧化碳的每吨平均处理成本为：=；分段讨论，①当x∈[120，144）时，求出的最小值；②当x∈[144，500]时，求出的最小值；比较得每月处理量为多少吨时，能使每吨的平均处理成本最低．
【解析】
（I）当x∈[200，300]时，设该项目获利为S，则
S=200x-=-x2+400x-80000=-（x-400）2；
当x∈[200，300]时，S＜0，此时该项目不会获利；
当x=300时，S取得最大值-5000，所以，国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．
（II）由题意知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：
=，
则：①当x∈[120，144）时，=x2-80x+5040=（x-120）2+240，∴当x=120时，取得最小值240；
②当x∈[144，500]时，=x+-200≥2-200=200，
当且仅当x=，即x=400时，取得最小值200；
∵200＜240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．