Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且对于任意的x∈R，f（1+x）-f（1-x）=0恒成立，当x∈[0，1]时，f（x）=2x，若方程f（x）=ax恰好有5个不同的解，则实数a的取值范围是（ ）
A．＜a＜
B．＜a＜ 或a=-
C．＜a＜或a=-
D．-＜a＜- 或 a=

Answer

根据题意先求出函数的周期，要使关于x的方程f（x）=ax有5个不同的解，即使y=f（x）与y=ax有5个交点都是奇函数其中有一个交点肯定是原点，只需考虑（0，+∞）有两个交点即可，画出图象即可求出a的值．
【解析】
因为f（1+x）-f（1-x）=0恒成立，且f（x）是奇函数
所以f（x）是周期为4的周期函数（且该函数最大值与最小值分别为2和-2）
要使关于x的方程f（x）=ax有5个不同的解，即使y=f（x）与y=ax有5个交点
都是奇函数其中有一个交点肯定是原点，只需考虑（0，+∞）有两个交点即可
画出函数图象如下：
当a=（ 即 f（x）=ax过点（5，2））时，恰好5个交点，
当a＜0时，a的范围在（k1，k2）之间，k1=-，k2=-，即-＜a＜-
故选D．