Question

已知等比数列{a_n}的所有项均为正数，首项a₁=1，且a₄，3a₃，a₅成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{a_n+1-λa_n}的前n项和为S_n，若S_n=2ⁿ-1（n∈N^*），求实数λ的值．

Answer

（1）利用的等差数列和等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的定义和其前n项和公式即可得出．
【解析】
（1）设数列{an}的公比为q＞0，
由条件，q3，3q2，q4成等差数列，∴6q2=q3+q4
解得q=-3，或q=2，
∵q＞0，∴取q=2．
∴数列{an}的通项公式为．
（2）记bn=an+1-λan，则
若λ=2，bn=0，Sn=0不符合条件；   
若λ≠2，则，数列{bn}为等比数列，首项为2-λ，公比为2．
此时，
∵，
∴λ=1．