Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₂⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁的中点，F是AB中点，AC=BC=1，AA₁=1．
（1）求证：CF∥平面AEB₁；
（2）求三棱锥C-AB₁E在底面AB₁E上的高．

Answer

（1）取AB1的中点G，联结EG，FG，易证四边形FGEC是平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得CF∥平面AB1E；
（2）依题意，可证得AC⊥BB1，进而可证AC⊥平面EB1C，结合已知，利用=即可求得三棱锥C-AB1E在底面AB1E上的高．
【解析】
（1）证明：取AB1的中点G，联结EG，FG，
∵F、G分别是AB、AB1中点，
∴FG∥BB1，FG=BB1，
∵E为侧棱CC1的中点，
∴FG∥EC，FG=EC，
所以四边形FGEC是平行四边形         …（4分）
∴CF∥EG，
∵CF⊄平面AB1E，EG⊂平面AB1E，
∴CF∥平面AB1E．…（6分）
（2）∵三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，
∴BB1⊥面ABC．
又∵AC⊂平面ABC，
∴AC⊥BB1，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，BB1∩BC=B．
∴AC⊥平面EB1C，
∴AC⊥CB1…（8分）
∴=•AC=×（×1×1）×1=…（10分）
∵AE=EB1=，AB1=，
∴=，
∵=，
∴三棱锥C-AB1E的高为=…（12分）