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如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA2⊥底面ABC,∠ACB=90°,E是...

如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA2⊥底面ABC,∠ACB=90°,E是棱CC1的中点,F是AB中点,AC=BC=1,AA1=1.
(1)求证:CF∥平面AEB1
(2)求三棱锥C-AB1E在底面AB1E上的高.

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(1)取AB1的中点G,联结EG,FG,易证四边形FGEC是平行四边形,利用线面平行的判定定理即可证得CF∥平面AB1E; (2)依题意,可证得AC⊥BB1,进而可证AC⊥平面EB1C,结合已知,利用=即可求得三棱锥C-AB1E在底面AB1E上的高. 【解析】 (1)证明:取AB1的中点G,联结EG,FG, ∵F、G分别是AB、AB1中点, ∴FG∥BB1,FG=BB1, ∵E为侧棱CC1的中点, ∴FG∥EC,FG=EC, 所以四边形FGEC是平行四边形         …(4分) ∴CF∥EG, ∵CF⊄平面AB1E,EG⊂平面AB1E, ∴CF∥平面AB1E.…(6分) (2)∵三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC, ∴BB1⊥面ABC. 又∵AC⊂平面ABC, ∴AC⊥BB1, ∵∠ACB=90°, ∴AC⊥BC,BB1∩BC=B. ∴AC⊥平面EB1C, ∴AC⊥CB1…(8分) ∴=•AC=×(×1×1)×1=…(10分) ∵AE=EB1=,AB1=, ∴=, ∵=, ∴三棱锥C-AB1E的高为=…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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