Question

选修4-1：集合证明选讲
已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，CD⊥AB于点D，弦BE与CD、AC分别交于点M、N，且MN=MC
（1）求证：MN=MB；
（2）求证：OC⊥MN．

Answer

（1）连结AE，BC，根据直径所对的圆周角是直角，得∠AEB=90°，根据等量代换得∠MBC=∠MCB，最后利用三角形的性质即可得出MB=MC，从而得到MN=MB；
（2）设OC∩BE=F，根据OB=OC，得到∠OBC=∠OCB，再由（1）知，∠MBC=∠MCB，等量代换得∠MDB=∠MFC，即∠MFC=90°即可证出结论．
证明：（Ⅰ）连结AE，BC，∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°，∠ACB=90°
∵MN=MC，∴∠MCN=∠MNC
又∵∠ENA=∠MNC，∴∠ENA=∠MCN
∴∠EAC=∠DCB，∵∠EAC=∠EBC，∴∠MBC=∠MCB，
∴MB=MC，
∴MN=MB．…（5分）
（Ⅱ）设OC∩BE=F，
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB
由（Ⅰ）知，∠MBC=∠MCB，∴∠DBM=∠FCM．又∵∠DMB=∠FMC
∴∠MDB=∠MFC，即∠MFC=90°∴OC⊥MN．…（10分）