Question

已知函数，f（x）=（a，c∈R，a＞0，b是自然数）是奇函数，f（x）有最大值，且．f（1）＞．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）是否存在直线l与y=f（x）的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点（1，0）对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

Answer

（1）由f（x）为奇函数可知f（-x）+f（x）=0，求得c=0； 依题意可知f（x）的最大值必在x＞0时取得，利用基本不等式可求得f（x）≤得，
于是a=b2，最后由＜b＜2又a＞0，b是自然数可得a=b=1．
（2）假设存在，设出P（x，y0），得出Q点坐标，列出方程组求出x和y，即可得出答案．
【解析】
（1）由f（x）为奇函数得f（-x）+f（x）=0，即
∴c=0．
 又a＞0，b是自然数，
∴当x＜0时，f（x）＜0，
 当x＞0时，f（x）＞0，
故f（x）的最大值必在x＞0时取得；
当x＞0时，f（x）=
当且仅当ax=，即x=时取得，即a=b2
又f（1）＞
∴2b2-5b+2＜0，即（2b-1）（b-2）＜0，
＜b＜2又a＞0，b是自然数可得a=b=1，
∴f（x）=
（2）假设存在直线l与y=f（x）的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点（1，0）对称，
设P（x，y0）则Q（2-x，-y）所以消去y，得x2-2x-1=0
解得：x=1±，所以P点坐标为（1+，）或（1-，-），故对应Q点的坐标为（1-，-）或（1+，）
故过于P、Q两点的直线方程为：x-4y-1=0