Question

已知二次函数k≤1图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上；又b₁=1，c_n=（a_n+2），且₁+2a₂+2²b₃+…+2^n-2b_n-1+2^n-1b_n=c_n，对任意n∈N^*都成立，
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n•b_n}的前n项和T_n；
（3）求证：（i）ln（x+1）＜（x＞0）；（ii）＜（n∈N^*，n≥2）．

Answer

（1）设二次函数f（x）=ax2+bx并求出f'（x），由题意求出a和b，代入求出f（x），由（n，Sn）在y=f（x）上求出Sn，由Sn与an的关系能求出an，再由题意求出cn，令n=n-1（n≥2）代入再两式作差求出bn，需要验证n=1时是否成立，不成立再用分段函数的形式表示出来；
（2）由（1）求出cn•bn，根据特点利用错位相减法求出Tn；
（3）（i）构造函数g（x）=x-ln（x+1）（x＞0），再求导数判断此函数单调性，求出函数的值域即得证；
（ii）根据（i）构造lnn＜n-1（n≥2），再变形、赋值、放缩得：，代入化简后，再进一步放缩利用裂项相消法求和即可．
【解析】
（1）设二次函数f（x）=ax2+bx，f'（x）=2ax+b，
∴2a=6b=-2，则f（x）=3x2-2x，
∵（n，Sn）在y=3x2-2x上，∴Sn=3n2-2n．
当n≥2时an=Sn-Sn-1
=3n2-2n-3（n-1）2+2（n-1）=6n-5
又n=1时a1=3-2=1=6×1-5符合，
∴an=6n-5，
则cn=（an+2）==2n-1，
由b1+2a2+22b3+…+2n-2bn-1+2n-1bn=cn得，
b1+2a2+22b3+…+2n-2bn-1+2n-1bn=2n-1 ①，
令n=n-1（n≥2）代入上式得，
b1+2a2+22b3+…+2n-2bn-1+2n-2bn-1=2n-3 ②，
①-②得，2n-1bn=2，即（n≥2），
又∵b1=1不满足上式，
∴，
（3）由（2）得，，
∴Tn=1+3+5×2-1+7×2-2+…+（2n-1）×22-n   ③，
Tn=+3×2-1+5×2-2+7×2-3+…+（2n-1）×21-n    ④，
③-④得，Tn=+2（2-1+2-2+…+22-n）-（2n-1）×21-n
=+2×-（2n-1）×21-n=，
则Tn=11-（2n+3）×22-n，
（3）（i）设g（x）=x-ln（x+1）（x＞0），则=＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴g（x）＞g（0）=0，即x-ln（x+1）＞0，
故ln（x+1）＜x（x＞0）；
（ii）∵ln（x+1）＜x（x＞0），
当n∈N*，n≥2时，令n=n-1代入上式得：
lnn＜n-1，即=1-，
令n=n2代入上式得，，∴
则=＜
=＜
=
===，
故结论成立．