Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n=+2（n-1）（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并分别写出a_n和S_n关于n的表达式；
（2）设数列{}的前n项和为T_n，证明：≤T_n＜；
（3）是否存在自然数n，使得S₁+++…+-（n-1）²=2011？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用n≥2时，an=Sn-Sn-1，即可得到关于an与an-1的递推式，据递推式的特点可判断数列为等差数列，从而可得答案；
（2）利用裂项相消法即可求得Tn的表达式，由表达式的特点及其单调性可证；
（3）由（1）可表示出，进而求得S1+++…+-（n-1）2，令其等于2011，看关于正整数n的方程是否有解即可；
（1）证明：由an=+2（n-1），得Sn=nan-2n（n-1）（n∈N*）．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=nan-（n-1）an-1-4（n-1），即an-an-1=4，
∴数列{an}是以a1=1为首项，4为公差的等差数列．
于是，an=4n-3，Sn═2n2-n（n∈N*）．
（2）证明：∵=，
∴Tn=++…+=[（1-）+（-）+（-）+…+（-）]=（1-）＜，
又易知Tn单调递增，
故Tn≥T1==，
所以≤Tn＜．
（3）【解析】
由Sn=nan-2n（n-1），得=an-2（n-1）=2n-1（n∈N*），
∴S1+++…+-（n-1）2=1+3+5+7+…+（2n-1）-（n-1）2
=n2-（n-1）2=2n-1．
令2n-1=2011，得n═1006，
即存在满足条件的自然数n=1006．