已知曲线C:f(x)=x
2,C上的点A
,A
n的横坐标分别为1和a
n(n∈N
*),且a
1=5,数列{x
n}满足
,设区间D
n=[1,a
n](a
n>1),当x∈D
n时,曲线C上存在点P
n(x
n,f(x
n)),使得点P
n处的切线与直线A
A
n平行.
(1)证明:{log
t(x
n-1)+1}是等比数列;
(2)当D
n+1⊊D
n对一切n∈N
*恒成立时,求t的取值范围;
(3)记数列{a
n}的前n项和为S
n,当
时,试比较S
n与n+7的大小,并证明你的结论.
考点分析:
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已知等差数列{a
n}的首项a
1=1,公差d>0,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b
n}的第2项、第3项、第4项.
(1)求数列{a
n}与{b
n}的通项公式;
(2)设数列{c
n}对n∈N
+均有
+
+…+
=a
n+1成立,求c
1+c
2+…+c
2013的值.
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在数列{a
n}中,已知a
1=2,a
n+1=
(n∈N
*),且满足
a
i(a
i-1)<m(m为常数,且为整数).
(1)求证:为{
-1}等比数列;
(2)求m的最小值.
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设数列{a
n}的前n项和为S
n,a
1=1,a
n=
+2(n-1)(n∈N
*).
(1)求证:数列{a
n}为等差数列,并分别写出a
n和S
n关于n的表达式;
(2)设数列{
}的前n项和为T
n,证明:
≤T
n<
;
(3)是否存在自然数n,使得S
1+
+
+…+
-(n-1)
2=2011?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.
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已知等差数列{a
n}中,公差d>0,前n项和为S
n,a
2•a
3=45,a
1+a
5=18.
(1)求数列的{a
n}通项公式;
(2)令b
n=
(n∈N
*),是否存在一个非零数C,使数列{B
n}也为等差数列?若存在,求出c的值;若不存在,请说明理由.
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已知二次函数k≤1图象经过坐标原点,其导函数为f′(x)=6x-2,数列{a
n}的前n项和为S
n,点(n,S
n)(n∈N
*)均在函数y=f(x)的图象上;又b
1=1,c
n=
(a
n+2),且
1+2a
2+2
2b
3+…+2
n-2b
n-1+2
n-1b
n=c
n,对任意n∈N
*都成立,
(1)求数列{a
n},{b
n}的通项公式;
(2)求数列{c
n•b
n}的前n项和T
n;
(3)求证:(i)ln(x+1)<(x>0);(ii)
<
(n∈N
*,n≥2).
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