Question

已知正项数列{a_n}满足a_nⁿ+na_n-1=0（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂；
（2）求证：0＜a_n＜1
（3）求证：a₁²+a₂²+…+a_n²＜1．

Answer

（1）分别令n=1、n=2代入所给的式子，解相应的方程即可；
（2）根据题意构造相应的函数f（x）=xn+nx-1，得到an为函数的零点，由函数零点存在的判断方法，得到an所在的区间；
（3）先根据条件适当的放缩an的范围，再由裂项相消法求出式子的和，再证明不等式．
【解析】
（1）∵（n∈N*），
令n=1得，a1+a1-1=0，解得a1=，
令n=2得，，解得a2=，
∵an＞0，∴a2=-1，
证明：（2）∵，
∴an是方程xn+nx-1=0的一个根，
设f（x）=xn+nx-1，则f（0）=-1＜0，f（1）=n＞0，
∴函数f（x）在（0，1）上至少有一个实数根，
∵f′（x）=nxn-1+n＞0，
∴函数f（x）在（0，1）上递增，
则函数f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个实数根，且在（0，1）上，
∴an∈（0，1），即0＜an＜1；
（3）当n=1时，＜1，原式成立，
当n≥2时，∵且0＜an＜1；
∴an=，
∴＜
＜+++…+
=+（-）+（-）+…+（）
=1＜1，
综上可得，＜1成立．