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已知数列{an}满足:+++…+=n2(n≥1,n∈N*). (1)求a1,a2...

已知数列{an}满足:manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网+…+manfen5.com 满分网=n2(n≥1,n∈N*).
(1)求a1,a2及a2012
(2)求{an}的通项公式;
(3)设bn=2an,数列{bn2}的前n项和为Sn,证明:Sn≤2一manfen5.com 满分网
(1)分别令n=1和2代入所给的式子求出a1,a2,再令n=2011和2012列出方程后作差求出a2012; (2)由得,(n≥2,n∈N*),两式作差再化简求出,再验证n=1时是否成立; (3)由(2)求出bn和bn2,验证当n=1时是否满足条件,当n≥2时需要对bn放缩后,再利用裂项相消法化简 Sn,即得,结论得证. 【解析】 (1)由题意知, 令n=1得,a1=1, 令n=2得,,解得a2=, 令n=2011得, 令n=2012得,, 两式相减得,=20122-20112=4023, 解得a2012=, (2)由(n≥1,n∈N*)得, (n≥2,n∈N*), 两式相减得,=n2-(n-1)2=2n-1, 则(n≥2,n∈N*), 当n=1时,a1=1也满足上式, 故, (3)由(2)得,bn===,∴bn2=, 当n=1时,b1=1,则S1=1,2-=1,满足, 当n≥2时,bn2=<=, ∴<1+(1)+()+…+() =, 综上得,对一切的正整数n对恒成立.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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