Question

已知数列{a_n}满足：+++…+=n²（n≥1，n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂及a₂₀₁₂；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=2a_n，数列{b_n²}的前n项和为S_n，证明：S_n≤2一．

Answer

（1）分别令n=1和2代入所给的式子求出a1，a2，再令n=2011和2012列出方程后作差求出a2012；
（2）由得，（n≥2，n∈N*），两式作差再化简求出，再验证n=1时是否成立；
（3）由（2）求出bn和bn2，验证当n=1时是否满足条件，当n≥2时需要对bn放缩后，再利用裂项相消法化简
Sn，即得，结论得证．
【解析】
（1）由题意知，
令n=1得，a1=1，
令n=2得，，解得a2=，
令n=2011得，
令n=2012得，，
两式相减得，=20122-20112=4023，
解得a2012=，
（2）由（n≥1，n∈N*）得，
（n≥2，n∈N*），
两式相减得，=n2-（n-1）2=2n-1，
则（n≥2，n∈N*），
当n=1时，a1=1也满足上式，
故，
（3）由（2）得，bn===，∴bn2=，
当n=1时，b1=1，则S1=1，2-=1，满足，
当n≥2时，bn2=＜=，
∴＜1+（1）+（）+…+（）
=，
综上得，对一切的正整数n对恒成立．