(1)利用分区间讨论法去掉绝对值符号,研究函数在每个区间上的单调性,从而确定函数的最大值,即可确定实数a的取值范围
(2)先分离出f(x),再求出的最小值1,然后解不等式≤1即可.
【解析】
(1)当x时,f(x)=1-x+2x+3=4+x,f(x)≤f()=
当≤x≤1时,f(x)=1-x-(2x+3)=-3x-2,f(1)=-5≤f(x)≤f()=
当x>1时,f(x)=-(1-x)-(2x+3)=-x-4,f(x)<f(1)=-5
函数f(x)的最大值为,要使不等式恒成立,只需a≥,即实数a的取值范围为[,+∞)
不等式恒成立,即|x-1|-|2x+3|≤恒成立.
因为≥=1,
所以只需|x-1|-|2x+3|≤1
①当x时,原不等式可以化为1-x+2x+3≤1,解得x≤-3
②当≤x≤1时,原不等式可以化为1-x-(2x+3)≤1,解得-1≤x≤1,
③当x>1时,原不等式可以化为-x-4≤1,解得x>1
综上所述,x的取值范围是(-∞,-3]∪[-1,+∞)