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已知f(x)=|x-1|-|2x+3|. (1)f(x)≤a恒成立,求实数a的取...

已知f(x)=|x-1|-|2x+3|.
(1)f(x)≤a恒成立,求实数a的取值范围;
(2)对于任意非零实数m,不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|f(x)恒成立,求实数x的取值范围.
(1)利用分区间讨论法去掉绝对值符号,研究函数在每个区间上的单调性,从而确定函数的最大值,即可确定实数a的取值范围 (2)先分离出f(x),再求出的最小值1,然后解不等式≤1即可. 【解析】 (1)当x时,f(x)=1-x+2x+3=4+x,f(x)≤f()= 当≤x≤1时,f(x)=1-x-(2x+3)=-3x-2,f(1)=-5≤f(x)≤f()= 当x>1时,f(x)=-(1-x)-(2x+3)=-x-4,f(x)<f(1)=-5 函数f(x)的最大值为,要使不等式恒成立,只需a≥,即实数a的取值范围为[,+∞) 不等式恒成立,即|x-1|-|2x+3|≤恒成立. 因为≥=1, 所以只需|x-1|-|2x+3|≤1 ①当x时,原不等式可以化为1-x+2x+3≤1,解得x≤-3 ②当≤x≤1时,原不等式可以化为1-x-(2x+3)≤1,解得-1≤x≤1, ③当x>1时,原不等式可以化为-x-4≤1,解得x>1 综上所述,x的取值范围是(-∞,-3]∪[-1,+∞)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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