Question

若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564cm²，则这三个正方体的体积之和为（ ）
A．764 cm³或586 cm³
B．764 cm³
C．586 cm³或564 cm³
D．586 cm³

Answer

由题意知，若设这三个正方体的棱长分别为a，b，c，（a＜b＜c）可得a，b，c满足关系式a2+b2+c2=94．进而可得a，b，c的范围，又由3c2≥a2+b2+c2=94，则6≤c＜10，即c只能取9，8，7，6．逐个验证即得a，b，c的值，进而得到这三个正方体的体积之和．
【解析】
设这三个正方体的棱长分别为a，b，c，
由题意知，6（a2+b2+c2）=564，即a2+b2+c2=94，
不妨设1≤a≤b≤c＜10，从而3c2≥a2+b2+c2=94，即c2＞31．
故6≤c＜10．c只能取9，8，7，6．
①若c=9，则a2+b2=94-92=13，
易知a=2，b=3，得一组解（a，b，c）=（2，3，9）；
②若c=8，则a2+b2=94-64=30，显然b≤5．但2b2≥30，b≥4，从而b=4或5．
若b=5，则a2=5无解，若b=4，则a2=14无解．此时无解；
③若c=7，则a2+b2=94-49=45，有唯一解a=3，b=6；
⑤若c=6，则a2+b2=94-36=58，
此时2b2≥a2+b2=58，b2≥29．故b≥6，但b≤c=6，故b=6，
此时a2=58-36=22无解．
综上，共有两组解或
体积为cm3或cm3．
故答案为：A．