Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°AB=PA=2，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．
（1）求证：BE∥平面PDF；
（2）求证：平面PDF⊥平面PAB；
（3）求BE与平面PAC所成的角．

Answer

（1）利用线面平行的判定定理去证明．（2）利用面面垂直的判定定理去证明．（3）利用定义或向量法求直线与平面所成的角．
【解析】
（1）证明：取PD的中点为M，连接ME，MF，
∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线．
∴ME∥CD，ME=CD．
又∵F是AB的中点，且由于ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=CD，∴ME∥FB，且ME=FB．
∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF．
∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，
∴DF⊥PA．连接BD，
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB为正三角形．
∵F是AB的中点，∴DF⊥AB．
∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．
∵DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．
（3）连结BD交AC于O，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAC．
∴OB⊥OE，即OE是BE在平面PAC上的射影．
∴∠BEO是BE与平面PAC所成的角．
∵O，E，分别是中点，∴OE=AP=1，OD===1，
∴Rt△BOE为等腰直角三角形，∴∠BEO=45°，
即BE与平面PAC所成的角的大小为45°．