Question

过直线x+y-2=0上点P作圆x²+y²=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是    ．

Answer

根据题意画出相应的图形，设P的坐标为（a，b），由PA与PB为圆的两条切线，根据切线的性质得到OA与AP垂直，OB与BP垂直，再由切线长定理得到PO为角平分线，根据两切线的夹角为60°，求出∠APO和∠BPO都为30°，在直角三角形APO中，由半径AO的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OP的长，由P和O的坐标，利用两点间的距离公式列出关于a与b的方程，记作①，再由P在直线x+y-2=0上，将P的坐标代入得到关于a与b的另一个方程，记作②，联立①②即可求出a与b的值，进而确定出P的坐标．
【解析】
根据题意画出相应的图形，如图所示：
直线PA和PB为过点P的两条切线，且∠APB=60°，
设P的坐标为（a，b），连接OP，OA，OB，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，PO平分∠APB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=30°，
又圆x2+y2=1，即圆心坐标为（0，0），半径r=1，
∴OA=OB=1，
∴OP=2AO=2BO=2，∴=2，即a2+b2=4①，
又P在直线x+y-2=0上，∴a+b-2=0，即a+b=2②，
联立①②解得：a=b=，
则P的坐标为（，）．
故答案为：（，）