Question

如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-（1+k²）x²（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

Answer

（1）求炮的最大射程即求  y=kx-（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．
（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．
【解析】
（1）在 y=kx-（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得 kx-（1+k2）x2=0．                  
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．
∴，当且仅当k=1时取等号．
∴炮的最大射程是10千米．
（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka-（1+k2）a2=3.2成立，
即关于 的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根．
由△=400a2-4a2（a2+64）≥0得a≤6．
此时，k=＞0（不考虑另一根）．
∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．