Question

已知{a_n}是正数组成的数列，其前n项和2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*），数列{b_n}满足，．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）若c_n=a_nb_n（n∈N^*），数列{c_n}的前n项和．

Answer

（I）由题设知a1=1，an=Sn-Sn-1=，an2-an-12-an-an-1=0，故（an+an-1）（an-an-1-1）=0，由此能导出an=n．于是bn+1=bn+3n，bn+1-bn=3n，由此能求出bn．
（II），，由错位相减法能求出，由此能得到==．
【解析】
（I），∴a1=1，
n≥2时，an=Sn-Sn-1=，
∴an2-an-12-an-an-1=0，
（an+an-1）（an-an-1-1）=0，
∴an-an-1=1．
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴an=n．
于是bn+1=bn+3n，∴bn+1-bn=3n，bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）
=．
（II），
∴，，
∴==，
，
∴
=
=．