Question

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M、N分别为AB、SB的中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥N-BCM的体积．

Answer

（I）证明SO⊥BO，建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，利用向量数量积公式，可得结论；
（II）求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可得到结论；
（III）求出N到平面ABC的距离，即可求三棱锥N-BCM的体积．
（Ⅰ）证明：取AC中点O，连结OS、OB．
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SO且AC⊥BO．
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，
∴SO⊥面ABC，
∴SO⊥BO．
如图所示建立空间直角坐标系O-xyz．
则A，C（-2，0，0），，．
∴，
∵，
∴AC⊥SB．（5分）
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）得，
设为平面CMN的一个法向量，则，，所以可取为平面ABC的一个法向量，
∴，
∴二面角N-CM-B的余弦值为．     （9分）
（Ⅲ）【解析】
由（Ⅰ）（Ⅱ）知，∴N到平面ABC的距离为，
而△CBM的面积为，
∴三棱锥N-BCM的体积为．       （12分）