Question

设a＞0，已知函数f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=x²-2bx+4．若对∀x₁∈[0，1]，∃x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂）．求实数b的取值范围．

Answer

（I）先求出函数f（x）的导函数f'（x），然后讨论a与0的大小关系，在函数的定义域内解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间；
（II）将f（x1）≥g（x2）问题转化为求函数的最值问题：g（x）在[1，2]上的最小值不大于f（x）在[0，1]上的最小值1．
【解析】
（Ⅰ）∵f'（x）=ex（ax2+x+1+2ax+1）=ex（x+2）（ax+1）（2分）
令f'（x）＞0，得（x+2）（ax+1）＞0，
∴上递增，在上递减，在-2，+∞上递增；
当上递增；
当上递增，在上递减，在上递增．           （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a＞0时，f（x）在[0，1]总是单调增加，
故f（x）在[0，1]的最小值为f（0）=1．              （8分）
由于“对∀x1∈[0，1]，∃x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2）成立”等价于
“g（x）在[1，2]上的最小值不大于f（x）在[0，1]上的最小值1”．      （9分）
又g（x）=（x-b）2+4-b2，x∈[1，2]，所以，
①当b＜1时，因为[g（x）]min=g（1）=5-2b≤1，此时无解；
②当；
③当b∈（2，+∞）时，因为[g（x）]min=g（2）=8-4b≤1，解得b＞2；
综上，b的取值范围是．                （12分）