Question

选修4-5；不等式选讲
（Ⅰ）解不等式：|2x-1|-|x-2|＜0；
（Ⅱ）设a＞0为常数，x，y，z∈R，x+y+z=a，x²+y²+z²=，求z的取值范围．

Answer

（Ⅰ）对x的取值情况分类讨论，去掉绝对值符号，转化为一次不等式解即可；
（Ⅱ）将已知条件变形，x+y=a-z，x2+y2=-z2，利用柯西不等式可得（x+y）2≤2（x2+y2），从而转化为关于z的一元二次不等式3z2-2az≤0，解之即可．
【解析】
（Ⅰ）当x＜时，原不等式化为1-2x+x-2＜0⇒-1＜x＜；
当≤x≤2时，原不等式化为2x-1+x-2＜0⇒≤x＜1；
当x＞2时，原不等式化为2x-1-x+2＜0⇒x＜-1⇒x∈Φ；
综上，原不等式的解集为{x|-1＜x＜1}．（5分）
（Ⅱ）因为x+y=a-z，x2+y2=-z2，
所以，由柯西不等式得（x+y）2≤2（x2+y2），即（a-z）2≤2（-z2），
即3z2-2az≤0，
所以z的取值范围是z∈[0，]（10分）．