Question

已知正数数列{c_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+c_n=1（n∈N^*）．
（1）求数列{c_n}的通项公式；
（2）设a_n=，探究是否存在数列{b_n}，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n一1）2²ⁿ⁺¹+2对一切正整数n都成立？若存在，请求出数列{b_n}的通项公式，若不存在，请说明理由；
（3）若（2）探究出存在数列{b_n}，则求数列{b_n•c_n}的前n项的和T_n；若（2）探究出不存在数列{b_n}，则请计算数列{}的前n项和．

Answer

（1）当n=1时，S1+c1=1，可求得c1；n≥2时，Sn+cn=1，Sn-1+cn-1=1，两式相减，可求得2cn=cn-1，可判断数列{cn}是首项为，公比为的等比数列，从而可求数列{cn}的通项公式；
（2）可求得an=2n，若存在数列{bn}，使得a1b1+a2b2+…+anbn=（2n一1）2n+1+2对一切正整数n都成立，向下类推一次后两式作差，可求得bn=2n+1（n≥2），再验证n=1时是否符合即可；
（3）依题意，Tn=+++…+，利用错位相减法即可求得Tn．
【解析】
（1）当n=1时，S1+c1=1，即2c1=1，故c1=（1分）
当n≥2时，Sn+cn=1，Sn-1+cn-1=1，两式相减，得（Sn-Sn-1）+（cn-cn-1）=0，
即2cn=cn-1，
所以数列{cn}是首项为，公比为的等比数列，
所以cn=．（3分）
（2）因为an=，
所以an=2n．（4分）
若存在数列{bn}，使得a1b1+a2b2+…+anbn=（2n一1）2n+1+2对一切正整数n都成立，
则a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=（2n一3）2n+2（n≥2），（6分）
两式相减，得anbn=2n（2n+1）（n≥2），解得bn=2n+1（n≥2）；
由a1b1=6，得b1=3，符合上式，所以bn=2n+1（n∈N*）．
所以存在符合条件的数列{bn}，其通项公式为bn=2n+1（n∈N*）．（8分）
（3）因为bn•cn=，故数列{bn•cn}的前n项的和Tn=+++…+，
所以Tn=+++…+，
所以Tn-Tn=++++…+-=+-（11分）
故Tn=--=-，
所以Tn=5-（13分）