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已知等比数列{an}的公比为q,首项为a1,其前n项的和为Sn.数列{an2}的...

已知等比数列{an}的公比为q,首项为a1,其前n项的和为Sn.数列{an2}的前n项的和为An,数列{(-1)n+1an}的前n项的和为Bn
(1)若A2=5,B2=-1,求{an}的通项公式;
(2)①当n为奇数时,比较BnSn与An的大小;
②当n为偶数时,若|q|≠1,问是否存在常数λ(与n无关),使得等式(Bn-λ)Sn+An=0恒成立,若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
(1)由题意知,由此可知,或an=2n-1. (2)由题设条件知数列{an2},{(-1)n+1an}均为等比数列,首项分别为a12,a1,公比分别为q2,-q. ①当n为奇数时,当q=1时,BnSn=na12=An.当q=-1时,BnSn=na12=An.当q≠±1时,B2k-1S2k-1=A2k-1.综上所述,当n为奇数时,BnSn=An. ②当n为偶数时,存在常数,使得等式(Bn-λ)Sn+An=0恒成立.由此入手能够推导出存在常数,使得等式(Bn-λ)Sn+An=0恒成立. 【解析】 (1)∵A2=5,B2=-1, ∴ ∴或(2分) ∴,或an=2n-1.(4分) (2)∵=常数, =常数, ∴数列{an2},{(-1)n+1an}均为等比数列, 首项分别为a12,a1,公比分别为q2,-q.(6分) ①当n为奇数时,当q=1时,Sn=na1,An=na12,Bn=a1, ∴BnSn=na12=An.当q=-1时,Sn=a1,An=na12,Bn=na1, ∴BnSn=na12=An.(8分) 当q≠±1时,设n=2k-1(k∈N*),,,, ∴B2k-1S2k-1=A2k-1.综上所述,当n为奇数时,BnSn=An.(10分) ②当n为偶数时,存在常数, 使得等式(Bn-λ)Sn+An=0恒成立.(11分) ∵|q|≠1,∴,,. ∴(Bn-λ)Sn+An= = = =.(14分) 由题设,对所有的偶数n恒成立, 又,∴.(16分) ∴存在常数,使得等式(Bn-λ)Sn+An=0恒成立.
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考点分析:
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其中λ为实数,n为正整数.
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(2)证明:当λ≠18时,数列 {bn} 是等比数列;
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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