Question

已知等比数列{a_n}的公比为q，首项为a₁，其前n项的和为S_n．数列{a_n²}的前n项的和为A_n，数列{（-1）ⁿ⁺¹a_n}的前n项的和为B_n．
（1）若A₂=5，B₂=-1，求{a_n}的通项公式；
（2）①当n为奇数时，比较B_nS_n与A_n的大小；
②当n为偶数时，若|q|≠1，问是否存在常数λ（与n无关），使得等式（B_n-λ）S_n+A_n=0恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由题意知，由此可知，或an=2n-1．
（2）由题设条件知数列{an2}，{（-1）n+1an}均为等比数列，首项分别为a12，a1，公比分别为q2，-q．
①当n为奇数时，当q=1时，BnSn=na12=An．当q=-1时，BnSn=na12=An．当q≠±1时，B2k-1S2k-1=A2k-1．综上所述，当n为奇数时，BnSn=An．
②当n为偶数时，存在常数，使得等式（Bn-λ）Sn+An=0恒成立．由此入手能够推导出存在常数，使得等式（Bn-λ）Sn+An=0恒成立．
【解析】
（1）∵A2=5，B2=-1，
∴
∴或（2分）
∴，或an=2n-1．（4分）
（2）∵=常数，
=常数，
∴数列{an2}，{（-1）n+1an}均为等比数列，
首项分别为a12，a1，公比分别为q2，-q．（6分）
①当n为奇数时，当q=1时，Sn=na1，An=na12，Bn=a1，
∴BnSn=na12=An．当q=-1时，Sn=a1，An=na12，Bn=na1，
∴BnSn=na12=An．（8分）
当q≠±1时，设n=2k-1（k∈N*），，，，
∴B2k-1S2k-1=A2k-1．综上所述，当n为奇数时，BnSn=An．（10分）
②当n为偶数时，存在常数，
使得等式（Bn-λ）Sn+An=0恒成立．（11分）
∵|q|≠1，∴，，．
∴（Bn-λ）Sn+An=
=
=
=．（14分）
由题设，对所有的偶数n恒成立，
又，∴．（16分）
∴存在常数，使得等式（Bn-λ）Sn+An=0恒成立．