Question

已知直线l：y=x+，圆O：x²+y²=5，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．

Answer

（Ⅰ）设椭圆半焦距为c，求出圆心O到l的距离，可得弦长，从而可得椭圆的短轴长，利用椭圆的离心率e=，即可求得椭圆E的方程；
（Ⅱ）设P过点P的椭圆E的切线的方程与椭圆方程联立，消去y可得一元二次方程，利用判别式为0建立方程，再利用韦达定理，计算两切线斜率之积，即可得到结论．
（Ⅰ）【解析】
设椭圆半焦距为c，圆心O到l的距离d==，∴b==
∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，
∴
∴，解得a2=3
∴椭圆E的方程为；
（Ⅱ）证明：设P（x，y），过点P的椭圆E的切线l的方程为y-y=k（x-x）
与椭圆方程联立，消去y可得（3+2k2）x2+4k（y-kx）x+2（kx-y）2-6=0
∴△=[4k（y-kx）]2-4（3+2k2）[2（kx-y）2-6]=0
∴（）k2+2kxy-（）=0
设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为k1，k2，
∴k1k2=-
∵P在圆O上，∴，
∴k1k2=-=-1
∴两切线斜率之积为定值-1．