Question

已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是 k₁，k₂且．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N．
①若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值
②若直线BM，BN的斜率都存在并满足，证明直线l过定点，并求出这个定点．

Answer

（1）利用斜率计算公式即可得出；
（2）把直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，①利用OM⊥ON⇔x1x2+y1y2=0即可得到k与m的关系，再利用点到直线的距离公式即可证明；
②利用斜率计算公式和根与系数的关系即可得出k与m的关系，进而证明结论．
【解析】
（1）由题意得，（x≠±2），即x2+4y2=4（x≠±2）．
∴动点P的轨迹C的方程是．
（2）设点M（x1，y1），N（x2，y2），联立，化为（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
∴△=64k2m2-16（m2-1）（1+4k2）=16（1+4k2-m2）＞0．
∴，．
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，
①若OM⊥ON，则x1x2+y1y2=0，∴，
∴，化为，此时点O到直线l的距离d=．
②∵kBM•kBN=-，∴，
∴x1x2-2（x1+x2）+4+4y1y2=0，
∴+，
代入化为，化简得m（m+2k）=0，解得m=0或m=-2k．
当m=0时，直线l恒过原点；
当m=-2k时，直线l恒过点（2，0），此时直线l与曲线C最多有一个公共点，不符合题意，
综上可知：直线l恒过定点（0，0）．