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已知椭圆Ω的离心率为,它的一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合. (1)求椭圆...

已知椭圆Ω的离心率为manfen5.com 满分网,它的一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合.
(1)求椭圆Ω的方程;
(2)若椭圆manfen5.com 满分网上过点(x,y)的切线方程为manfen5.com 满分网
①过直线l:x=4上点M引椭圆Ω的两条切线,切点分别为A,B,求证:直线AB恒过定点C;
②是否存在实数λ使得|AC|+|BC|=λ•|AC|•|BC|,若存在,求出A的值;若不存在,说明理由.
(1)设椭圆方程,抛物线y2=-4x的焦点是(-1,0),从而得到c=1,再由离心率,能求出椭圆Ω的方程. (2)①设切点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),直线l上一点M的坐标(4,t),则可得切线方程,由此推导出直线AB的方程是x+y=1,从而可得结论; ②将直线AB的方程x+y=1与椭圆方程联立,求出|AC|,|BC|,利用韦达定理,即可得到结论. (1)【解析】 设椭圆方程为(a>b>0), 抛物线y2=-4x的焦点是(-1,0),故c=1, 又∵=,∴a=2,b==, ∴所求的椭圆Ω的方程为. (2)①证明:设切点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),直线l上一点M的坐标(4,t), 则切线方程分别为,, ∵两切线均过M,即,, 即点A,B的坐标都适合方程x+y=1 而两点之间确定的唯一的一条直线, ∴直线AB的方程是x+=1, 对任意实数t,点(1,0)都适合这个方程, 故直线恒过定点C(1,0). ②将直线AB的方程x+y=1与椭圆方程联立,可得()y2-2ty-9=0 ∴, 不妨设y1>0,y2<0,则|AC|== 同理|BC|=- ∴== 即|AC|+|BC|=•|AC|•|BC|, 故存在,使得|AC|+|BC|=λ•|AC|•|BC|.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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