Question

已知椭圆Ω的离心率为，它的一个焦点和抛物线y²=-4x的焦点重合．
（1）求椭圆Ω的方程；
（2）若椭圆上过点（x，y）的切线方程为．
①过直线l：x=4上点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过定点C；
②是否存在实数λ使得|AC|+|BC|=λ•|AC|•|BC|，若存在，求出A的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）设椭圆方程，抛物线y2=-4x的焦点是（-1，0），从而得到c=1，再由离心率，能求出椭圆Ω的方程．
（2）①设切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），直线l上一点M的坐标（4，t），则可得切线方程，由此推导出直线AB的方程是x+y=1，从而可得结论；
②将直线AB的方程x+y=1与椭圆方程联立，求出|AC|，|BC|，利用韦达定理，即可得到结论．
（1）【解析】
设椭圆方程为（a＞b＞0），
抛物线y2=-4x的焦点是（-1，0），故c=1，
又∵=，∴a=2，b==，
∴所求的椭圆Ω的方程为．
（2）①证明：设切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），直线l上一点M的坐标（4，t），
则切线方程分别为，，
∵两切线均过M，即，，
即点A，B的坐标都适合方程x+y=1
而两点之间确定的唯一的一条直线，
∴直线AB的方程是x+=1，
对任意实数t，点（1，0）都适合这个方程，
故直线恒过定点C（1，0）．
②将直线AB的方程x+y=1与椭圆方程联立，可得（）y2-2ty-9=0
∴，
不妨设y1＞0，y2＜0，则|AC|==
同理|BC|=-
∴==
即|AC|+|BC|=•|AC|•|BC|，
故存在，使得|AC|+|BC|=λ•|AC|•|BC|．